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Pöppe, C.: Ist jedes Rechteck ein Trapez? : Nein, sagt der normale Mensch. Ja, sgt der Mathematiker. Das ist vielleicht nicht normal - aber richtig (2003)
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- "Die Fernsehshow »Wer wird Millionär?« veranlasste Anfang Februar Millionen Zuschauer, längst verstaubte Erinnerungen aus der Schule wieder hervorzukramen. Was genau war die Definition von »Trapez«? Man schaut im Lexikon nach und findet (zum Beispiel bei Brockhaus und Meyer nahezu gleich lautend): »ein ebenes Viereck mit zwei parallelen, nicht gleich langen Seiten«. Dann ist ein Rechteck offensichtlich kein Trapez. Das hatten die Aufgabensteller von »Wer wird Millionär?« auch so gesehen und daraufhin auf die Frage »Jedes Rechteck ist ein ...?« als eine der falschen Antwortmöglichkeiten »Trapez« angeboten. Die Raterin gab an dieser Stelle verunsichert das Spiel auf. Aber nach größeren Protesten sahen sich die Veranstalter veranlasst, die Frage zurückzuziehen und der Kandidatin das zu gewähren, was der Jurist »Wiedereinsetzung in den vorigen Stand« nennt. Ein Rechteck ist nämlich insbesondere einTrapez. Die Leute, die es wissen müssen, die Mathematiker, sind sich da ganz sicher. Das »Lexikon der Mathematik« (Spektrum Akademische rVerlag) spricht von einem »Viereck, in dem zwei gegenüberliegende Seiten parallel zueinander sind«, und es kommt eben nicht darauf an, ob die beiden Seiten gleich lang sind oder nicht. Wie kommt ein so auffälliger Fehler in gleich mehrere, eigentlich zuverlässige Lexika? Weil die Lexikon-Redakteure normal denken. Dazu gehört es auch, eine Sache mit dem engsten Begriff zu benennen, der auf sie passt. Eine Lungenentzündung ist eine Infektion und geht mit Fieber einher. Sie als »fieberhaften Infekt« zu bezeichnen wäre zwar korrekt, aber verfehlt, weil es das Wesentliche einer Lungenentzündung nicht trifft. Wer ein Rechteck als Trapez bezeichnet, gibt damit ebenfalls eine mangelhafte Beschreibung seines Objekts ab. Ein normaler Mensch verschweigt eben nicht das Wesentliche, zum Beispiel dass das vorliegende Viereck auch noch vier rechte Winkel hat. Warum können die Mathematiker das nicht einsehen und mit ihrer Definition von »Trapez« auf die im »Brockhaus« konkretisierte Denkweise des vernünftigen Normalmenschen einschwenken? Weil das unzweckmäßig wäre. Eine Gelegenheit, bei der Trapeze massenhaft Verwendung finden, ist die Integralrechnung. Man möchte den Inhalt der krummlinig begrenzten Fläche unter einer Kurve bestimmen. Dazu schneidet man die Fläche in dünne senkrechte Streifen und ersetzt die krumme Oberseite jedes Streifchens durch eine gerade Linie mit denselben Eckpunkten. Aus jedem Streifchen wird dadurch ein Trapez; dessen Flächeninhalt kann man mit der Flächenformel für Trapeze bestimmen und dann damit weiterrechnen. Und was ist, wenn zufällig-oder absichtlich-die Oberkante des Streifchens genau waagerecht liegt, sodass aus dem Trapez ein Rechteck wird? Nichts ist. Die Flächenformel gilt für alle Trapeze. Wenn sich unter ihnen ein Rechteck findet, soll es bitte nicht so tun, als sei es etwas Besonderes. Es kommt in diesem Kontext nämlich gar nicht darauf an. Ganz im Gegenteil: Wenn man zwischen den Fällen Trapez und Rechteck unterscheiden müsste, dann wäre die Einführung in die Integralrechnung doppelt so mühsam; und das kann kein Mensch ernsthaft wollen. Also müssen die Mathematiker darauf bestehen, dass RechteckeTrapeze sind. Das ist der tiefere Grund, warum mathematische Begriffsbildungen manchmal so albern anmuten. Die Fachleute missachten häufig die gute Regel »Bezeichne ein Ding präzise und nenne seine wesentlichen Eigenschaften«, weil sie sich nicht auf die Frage einlassen wollen, was eine wesentliche Eigenschaft ist. Das weiß man nämlich nicht immer so genau; es ändert sich auch häufig im Verlauf der Untersuchung. Und warum soll man eigens über einen Spezialfall reden, wenn er genauso zu behandeln ist wie der allgemeine Fall?
Dass dabei dem herkömmlichen Sprachverständnis Gewalt angetan wird, daran muss man sich gewöhnen. Von einer »Menge« spricht ein normaler Mensch nur, wenn es etwas gibt, das zu der Menge gehört; die Mathematiker kultivieren ihre leere Menge. Nach einer »Transformation« sieht dasTransformierte anders aus als zuvor, sollte man meinen. Falsch: Nichtstun ist ein - hoch geschätzter - Spezialfall einer Transformation. Eine »Kurve« ist etwas Krummes? Nicht notwendig. Definiert ist sie als der Weg eines Punktes, und der darf auch gerade sein. Besonders bizarr: Es gibt Mathematiker, die »linear« als Spezialfall von »nichtlinear« ansehen, und das mit gutem Grund: Lineare Gleichungssysteme sind, grob gesprochen, regelmäßig und mit Standardmethoden lösbar, nichtlineare dagegen nur in besonderen Fällen und mit spezialisierten Verfahren. Wer ein solches Verfahren entwirft, möchte es auf eine möglichst große Klasse von Problemen anwenden können. Wenn es bei den leichten schon nicht funktioniert, wie soll es erst bei den schweren gehen? Also wendet man jedes Verfahren für nichtlineare Gleichungen zuerst probeweise auf den linearen Spezialfall an. Mathematiker denken vielleicht nicht normal - aber richtig."
- Date
- 31.12.1996 19:29:41
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Pöppe, C.: ¬Das Minderheitsspiel (2005)
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- Was soll man tun? Jedenfalls nicht das, was die anderen tun. Die Ausweichempfehlung zur Staumeldung, der Urlaubs-Geheimtipp in der Zeitung, der Börsentipp: Sie alle können gut recherchiert und vernünftig sein - und widerlegen sich dennoch selbst, sowie sie massenhaft befolgt werden. Stattdessen könnten die EI-Farol-Fans zum Beispiel eine Münze werfen und nur zur Bar gehen, wenn »Kopf« erscheint. Dann ist rein per Zufall immer ziemlich genau die Hälfte da. Allgemein sorgt das Münzwurfverfahren dafür, dass die Minderheit stets knapp unter 50 Prozent liegt und damit so hoch wie nur möglich. Das ist günstig für das Gemeinwohl und damit auch günstig für jeden Einzelnen, der durch das Zufallsverfahren auf die Dauer seinen gerechten Anteil abkriegt. Allerdings gibt es immer wieder erhebliche Abweichungen von den 50 Prozent und damit ungenutzte Gewinnmöglichkeiten; einzelne Angehörige einer erdrückenden Mehrheit hätten sich ja anders entscheiden und damit Punkte kassieren können, ohne anderen welche wegzunehmen - wenn sie das vorher gewusst hätten. Oder die Spieler legen sich feste Gewohnheiten zu. Wenn eine Clique immer nur an geraden Tagen zur Bar geht und die andere an ungeraden, und beide Cliquen umfassen jeweils ziemlich genau die halbe Bevölkerung, dann ist jeden Tag eine starke Minderheit glücklich. Ein solches koordiniertes Verhalten kann sich selbst dann einstellen, wenn es keine Verständigung der Akteure untereinander gibt. Ein Mensch, der sich regelmäßig in der Mehrheit wiederfindet, kann genau das zum Anlass nehmen, seine Gewohnheiten zu ändern. Dadurch schrumpft die Mehrheit und wächst die Minderheit, bis beide fast genau gleich groß sind.
- Date
- 31.12.1996 19:29:41
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Henzinger, M.; Pöppe, C.: "Qualität der Suchergebnisse ist unser höchstes Ziel" : Suchmaschine Google (2002)
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- Spektrum der Wissenschaft: Frau Henzinger, wie viele Seiten des World Wide Web erschließt Google heute? Monika Henzinger: Wir haben über zwei Milliarden Webseiten in unserer Datenbank. Hinzu kommen 700 Millionen Newsgroup-Beiträge, die weit in die Vergangenheit reichen, und 300 Millionen Bilder. - Spektrum: Und diese Inhalte haben Sie komplett gespeichert? - Henzinger: In komprimierter Form, ja. Spektrum: Ist das nicht schon das gesamte Web? - Henzinger: Bei weitem nicht! Eigentlich ist das Web unendlich. Es gibt Datenbanken, die beliebig viele Webseiten auf Anfrage erzeugen können. Natürlich macht es keinen Sinn, die alle in der Suchmaschine zu haben. Wir beschränken uns auf Seiten hoher Qualität. - Spektrum: Wie wählen Sie die aus? - Henzinger: Nach dem so genannten PageRank. Das ist eine Note, die wir jeder Seite geben, unabhängig von irgendeiner Anfrage, für die diese Seite relevant sein könnte. Und zwar ist die Qualität einer Seite - oder anders gesagt: die Hochachtung, die sie innerhalb des Web genießt - umso größer, je mehr andere Seiten auf sie verweisen und je höher die Qualität der verweisenden Seite ist. Der PageRank bestimmt auch wesentlich die Reihenfolge, in der Google dem Anfrager die Ergebnisse präsentiert. - Spektrum: Ist der PageRank manipulierbar, etwa durch ein Zitierkartell? - Henzinger: Es wird zumindest immer wieder versucht. Zum Beispiel ist "Britney Spears" ein sehr häufiger Suchbegriff. Deswegen versuchen viele, ihren PageRank hochzutreiben, um unter den Antworten auf "Britney Spears" auf den vordersten Plätzen zu landen, auch wenn sie bloß Turnschuhe verkaufen. - Spektrum: Und was tun Sie dagegen? - Henzinger: Wenn wir offensichtlichen Missbrauch sehen, nehmen wir die entsprechenden Seiten gezielt heraus - im Interesse unserer Benutzer, für die wir die Qualität wahren wollen. - Spektrum: Gibt es auch andere Maßnahmen als diese Einzelkorrekturen? - Henzinger: Ja. Aber die diskutieren wir nicht öffentlich, um den "Rüstungswettlauf" nicht anzuheizen. - Spektrum: Seit wann gibt es Google? - Henzinger: Die Firma existiert seit dreieinhalb Jahren. Seit reichlich zwei Jahren sind wir auf dem Markt. Die Kunde von uns hat sich durch Mundpropaganda verbreitet, und inzwischen kommt die Hälfte der Anfragen von außerhalb der USA, zwölf Prozent allein aus dem deutschsprachigen Raum. Wir beantworten über 150 Millionen Anfragen am Tag, und zwar direkt oder über unsere Partner. Wenn zum Beispiel die Suchmaschine Yahoo ein Stichwort nicht im eigenen Verzeichnis findet, reicht sie die Anfrage an uns weiter und gibt dem Benutzer unsere Antwort. - Spektrum: Mit welcher Hardware läuft das System? - Henzinger: Mit über zehntausend PCs, verteilt auf vier Datenzentren. Betriebssystem ist Linux. - Spektrum: Wie prüfen Sie, ob die aufgeftihrten Webseiten noch existieren? - Henzinger: Besonders ereignisreiche Webseiten besuchen wir täglich. Alle 28 Tage aktualisieren wir den Index - das ist die Liste, die zu jedem Wort die Seiten aufführt, auf denen es vorkommt. - Spektrum: Wie aufwendig ist dieses Indizieren? - Henzinger: Sehr aufwendig. Etwa eine Woche. - Spektrum: Wie viele Leute hat die Firma? - Henzinger: Ungefähr 300. Bisher haben wir unsere Belegschaft in jedem Jahr ungefähr verdoppelt. -
- Date
- 31.12.1996 19:29:41
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Pöppe, C.: ¬Die Geheimfolie (1998)
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Pöppe, C.: Bienenwaben sind wirklich optimal (1999)
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Pöppe, C.: ¬Ein großer Brückenschlag in der Algebra (2002)
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Pöppe, C.: Informationsgesellschaft und nachhaltige Entwicklung : Eine von der Bundesregierung eingesetzte Arbeitsgruppe hat erheblich weiter gedacht als so mancher Politiker (1998)
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Singer, W.; Pöppe, C.; Hoefer, I.: ¬Das Ende des freien Willens? (2001)
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Pöppe, C.: ¬Das Ende von Eric Weissteins mathematischer Schatzkiste (2001)
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